En la figura 1 podemos ver dos pirámides unidas por la base, es lo que se llama una dipirámide, como las dos pirámides tienen base cuadrada, podemos girar por ejemplo la verde de manera que el centro de giro está en la base de la figura y sobre el eje e que pasa por los vértices, al hacer un giro a 45° obtenemos la configuración del número 2.

 Si ahora desplazamos por ejemplo la pirámide verde en la trayectoria del eje vertical hasta que coincidan sus aristas laterales con los puntos medios de la base de la pirámide roja  obtenemos la figura que aparece en el número 3.

 Inmediatamente debajo tenemos la figura central pero habiendo quitado la pequeña pirámide verde superior y la pequeña pirámide roja inferior.

 En el número 4 quitamos las pirámides laterales de la configuración anterior y podemos observar las dos pirámides pequeñas encima y debajo,  la figura del medio es la intersección de esos dos fragmentos que quedaban debajo del número 3.

Si cogemos esa figura de intersección y le unimos las dos pirámides pequeñas de color roja y verde obtenemos en su unión la figura número cinco que es en realidad un deltoedro y cuyas proyecciones en planta y alzado aparecen en el número 6.

Vídeo explicativo del ejercicio:

https://www.youtube.com/watch?v=omui937h1Lk&t=2s

Podemos observar en la imagen de la izquierda las tres proyecciones en planta, alzado y perfil de un deltoedro, podemos observar que es una figura formada por deltoides, son trapecios con un eje de simetría parecidos a los rombos pero con la diferencia de que se han alargado dos  lados de la figura.

En este caso tenemos que la figura tiene 8 lados, en la derecha podemos observar los cuatro deltoides para la parte superior y los otros 4 para la parte inferior, esos cuatro lados de la parte superior o inferior definen que el deltoedro sea cuadrado, por lo tanto el número de caras debe ser doble que  el que refiere su designación.

En la parte central de la figura observamos el desarrollo del mismo.

Podemos observar en la Figura 1  un deltoedro de 5 caras laterales para la parte superior y otras cinco para la inferior, tenemos por tanto una figura pentagonal. 

 Si de la figura 2 tomamos las dos pirámides inferior y superior de manera que las bases  son pentágonos regulares podemos decir que un deltoedro pentagonal está formado por un dodecaedro regular y dos pirámides simétricas respecto al plano meridiano que pasa por el centro de la figura.

 En la figura 3 podemos observar el dodecaedro sin las pirámides.

En la figura 1 observamos una pirámide,  si hacemos su simétrica respecto a la base obtenemos la dipirámide de la figura 5,  al hacer un giro a 60º respecto al eje vertical que pasa por los vértices extremos de ambas pirámides obtenemos la configuración de la figura 2,  si bajamos la pirámide roja sobre ese eje hasta que la arista lateral intercepte a la arista de la base verde obtenemos la configuración número 3,  si quitamos las pirámides inferior y superior obtenemos  las pirámides CD del número 4.

Si además de quitar esas pirámides quitamos también las laterales de ambas figuras, o lo que es lo mismo, si hacemos la intersección de las dos pirámides de la configuración 3 obtenemos la dipirámide u octaedro irregular del número 6, por regla general sale irregular ya que la pirámide  tiene una altura cualquiera.

Si a ese octaedro  irregular o o dipirámide le añadimos las dos pirámides del número 4 obtenemos el deltoedro de la figura número 7, es realmente un prisma oblicuo, y un prisma oblicuo es el caso límite de los deltoides del deltoedro que se transforman en rombos.  Como podemos observar aparte de prisma oblicuo y deltoedro es también un octaedro o dipirámide oblicua a la que se le han añadido las dos pirámides del número 4.

Una vez que tomamos esta figura la representamos con sus partes constituyentes en distintos colores en el número 8 mientras que en el número 9 vemos ya las vistas en diédrico de la misma figura con las divisiones pero con los colores originales, por último al hacer la unión de la dipirámide  del número 6 y las pirámides del número 4  obtenemos el prisma oblicuo de la Figura 7, 8, 9, 10.

 En la Figura 11 hemos puesto el octaedro irregular apoyado en una cara, como podemos observar no es regular ya que en el perfil los vértices extremos no cortan a la arista central ortogonalmente.

En el borde superior izquierdo podemos observar un cubo cuya diagonal es el eje principal que atraviesa la figura entre vértices opuestos, alrededor de ese eje giramos un cubo de manera que dejamos registro de 5 cubos en el primer caso y de 4 cubos en el segundo, en el primer caso por ser impar observamos que los vértices de los cubos de la parte superior no coinciden sobre las verticales de los vértices de los cubos de la parte inferior, ello provoca la alternancia de aristas y que las caras laterales sean deltoides, provocando así la figura del deltoedro, como contrapartida observamos en el caso de la derecha el registro tras el giro del cubo la formación de 4 cubos y la coincidencia de los vértices superiores e inferiores provocando la coincidencia de las caras laterales en triángulos isósceles, generando de esta forma una figura formada por dos pirámides llamada dipirámide.

En este ejercicio podemos ver el caso de los 5 cubos que aparecen en el ejercicio anterior. Por la parte superior aparece en la zona izquierda la representación en sistema diédrico de la composición de los 5 cubos mientras que a su derecha aparece la intersección en deltoedro de las cinco figuras.

En  la franja inferior del dibujo vemos exactamente  lo mismo, el poliedro compuesto a la izquierda y la intersección a su derecha,  la diferencia es que en este borde inferior la diagonal del cubo forma 45° con el plano horizontal, mientras que en el caso anterior el eje de revolución es una recta oblicua.

Podemos observar nuevamente el mismo ejercicio que en el caso anterior con la intersección de los 5 cubos, a su izquierda el poliedro resultante de la intersección y a la derecha la composición de los 5 cubos en un poliedro compuesto de figuras entrelazadas.

En el borde inferior de la imagen observamos en detalle el entrelazamiento de esos 5 cubos en su franja central, tal y como se comentaba anteriormente los vértices superiores no están alineados en verticales con los vértices inferiores provocando de esta manera una figura formada por deltoides laterales, esta figura es la que llamamos deltoedro.

Podemos observar un ejercicio afín al anterior pero ahora realizado con 7 cubos, al hacer el giro de un cubo original y tras realizar una vuelta completa observamos que se deja registro de 7 cubos y el poliedro compuesto que se forma es el que aparece en la parte izquierda de la figura, mientras que a la derecha obtenemos la intersección de esos cubos, al ser un caso impar y no haber coincidencia de vértices sobre líneas verticales sabemos que la figura resultante es un  deltoedro.

Análogamente a los ejercicios anteriores, tenemos el cubo con su diagonal principal en el borde superior izquierdo, esta recta es un eje de revolución del que se dejan 7 cubos como registro en el primer caso y 2 cubos en el segundo, como podemos observar en el caso izquierdo obtenemos la figura del deltoedro mientras que a la derecha obtenemos la figura de la bipirámide, en este último caso se ha representado en el borde superior derecho la posición del eje de revolución como una línea que forma 45° con el plano horizontal mientras que en la parte inferior el eje de revolución es una recta vertical.

En el caso superior derecho de la intersección de los dos cubos observamos también la figura con el eje vertical, mientras que a su izquierda observamos el contorno en planta y alzado como un cuadrado, eso quiere decir que el eje de revolución forma en este caso los 45° con el plano horizontal.

Seguimos con el mismo procedimiento de atravesar un eje de revolución sobre figuras distintas, en este caso tenemos un cilindro elíptico que gira en torno al eje provocando el poliedro compuesto por 3 cilindros, en el borde extremo de la izquierda de la imagen observamos que el eje de revolución es una recta vertical provocando en planta una figura con tres simetrías. Como podemos observar a la derecha de ese poliedro compuesto en planta y alzado obtenemos un deltoedro como intersección de los tres cilindros.

En este caso podemos ver que los deltoides laterales del deltoedro se aproximan a rombos en el momento en que los lados de la figura coinciden en dimensión.

Volvemos a realizar un ejercicio semejante al anterior pero considerando ahora el registro de 7 cilindros y con la posición idéntica para el caso del eje de revolución respecto al cilindro elíptico. 

En la parte izquierda observamos en planta y alzado en entrelazamiento de los 7 cilindros que provocan un poliedro compuesto muy complejo.

A la derecha de este poliedro compuesto observamos el deltoedro como intersección de los cilindros, esta figura representada en diédrico aparece luego dos veces representada en distintas perspectivas por la parte inferior mientras que tenemos también dos perspectivas de la composición de los cilindros por la parte inferior derecha.

Siguiendo con el procedimiento anterior partimos de un prisma en forma de cuña y tomamos como eje de revolución una línea que une un vértice extremo con el medio de una arista opuesta, al hacer el giro del prisma y dejar registro de 3 figuras observamos a su derecha la planta y alzado del poliedro compuesto mientras que más a su derecha observamos una figura parecida a un deltoedro pero con caras en trapezoides, como podemos observar la asimetría en las figuras provoca como intersección un poliedro cuyas caras son cuadriláteros irregulares.

Observamos un ejercicio análogo al anterior pero con 5 prismas.

En la intersección de los prismas con forma de cuña observamos una figura análoga al deltaedro pero también con trapezoides en vez de deltoides.

 Podemos observar la planta y alzado de los 5 prismas y a su derecha la intersección también en sistema diédrico, así mismo podemos ver varias perspectivas del poliedro compuesto y del poliedro de intersección.

Hasta ahora hemos partido de prismas y otras figuras para mediante giro y registro de los poliedros obtener deltoedros, en este caso cogemos directamente el deltaedro  de la parte derecha y sobre un eje vertical hacemos un giro del mismo hasta obtener 5 figuras, obteniendo el poliedro compuesto de la izquierda, la intersección de todos los deltoedros nos da un nuevo octaedro que vemos  en el centro en planta y alzado.

En la franja inferior podemos observar un cubo y las distintas posiciones de un eje que lo atraviesa y que es la recta que sirve para revolucionar los cubos un ángulo de 360 grados, dejando a continuación el registro de 4 figuras.

En el primer caso el eje incide en un vértice y a la mitad de la arista, en el segundo caso es la diagonal principal, en el tercer caso el eje de revolución pasa por la mitad de aristas opuestas, en el siguiente caso va desde un vértice hasta una arista opuesta, en el siguiente caso va desde un vértice hasta el centro de una cara, en el siguiente caso el eje de revolución va desde el centro de una arista al centro de una cara y por último va desde el vértice al centro de una cara.

 Al girar el cubo en torno a estos ejes y generar 4 cubos se producen los poliedros compuestos que vemos por la franja central de la imagen, mientras que en la franja superior podemos observar la intersección de esos cubos.

En el primer caso a la izquierda observamos una figura formada por triángulos escalenos y deltoides, en el segundo caso por ser un número par de cubos obtenemos la dipirámide, en el tercer caso tenemos una figura formada por dos pirámides y un prisma de unión, en el siguiente caso tenemos un modelo semejante al del primer caso mientras que en el siguiente   cada uno de los deltoides se fragmentan en dos triángulos, pasa lo mismo en los tres últimos casos de la derecha.

 En conclusión podemos decir que el caso del deltoedro será en el segundo caso para figuras impares mientras que en los demás casos aparecen poliedros parecidos al deltoedro pero fragmentando los deltoides en 2 triángulos por regla general  y salvo excepciones.

En este caso podemos observar en el borde superior izquierdo un prisma recto de base hexagonal regular y un eje que lo atraviesa entre aristas opuestas, al hacer un giro del prisma respecto a ese eje y con una revolución de 360° dejamos el registro de los tres prismas que aparecen en la franja central de la imagen, a su derecha observamos la intersección de esos prismas que provoca una especie de prisma oblicuo con caras en  rombos,  recibe el nombre de romboedro.  Si estos rombos difieren en las dimensiones transformándose en deltoides tenemos en deltoedro, en este caso tenemos un prisma oblicuo cuyas caras son rombos y que pueden ser romboides o deltoides provocando romboedros o deltoedros.

Podemos observar el caso afín al anterior pero realizado con 5 prismas hexagonales, al hacer el giro de los poliedros dejamos registro de las cinco figuras cuya composición aparece en la franja central de la imagen, mientras que a su derecha tenemos la intersección de los 5 prismas que es el deltaedro.

Por la parte inferior podemos observar varias perspectivas de las figuras.

 En esta imagen tenemos un caso afín a los anteriores pero con un prisma de base pentagonal regular, el giro y registro de los tres prismas provoca en planta y alzado el poliedro compuesto que aparece centrado en la imagen mientras que a la derecha podemos observar el prisma oblicuo cuyas caras parecen rombos. En el caso anterior estos  rombos son la posición límite  de las caras laterales  de un deltoedro que son deltoides

 

En este caso tenemos la figura anterior también con el eje de revolución que la atraviesa de vértice a arista opuesta, en el caso número uno tenemos la planta y alzado de 5 prismas resultado de la revolución del prisma anterior, en el número dos tenemos la intersección de los prismas que nos provoca un deltoedro.

Estas figuras están en una posición oblicua, pero para hacer el dibujo más inteligible en el número 3 colocamos el eje de revolución en una posición vertical y de esta manera tenemos el poliedro compuesto en planta y alzado mientras que en el punto cuatro tenemos la intersección de esos prismas pentagonales, en el número 5 tenemos una proyección ortogonal del poliedro compuesto mientras que en el número 7 distintas perspectivas axonométricas, en el número 6 tenemos dos perspectivas axonométricas del deltoedro.

En la figura observamos nuevamente el prisma de base pentagonal regular y el eje de revolución que genera en el giro tres prismas representados en planta y alzado en el centro de la figura, a su derecha observamos otra vez el prisma oblicuo, sus caras tienen tan poca inclinación que casi parece un cubo.

 Un cubo es un hexaedro regular próximo al deltoedro en el momento en que sus caras cuadradas se convierten en deltoides, en este caso las caras son romboides.

Vemos nuevamente el caso del prisma pentagonal regular y el eje de giro que deja registro de 7 prismas, en el número uno tenemos el poliedro compuesto de los 7 prismas mientras que en el número dos tenemos la intersección de los 7 prismas, es un deltoedro en la que podemos observar que sus caras laterales en deltoides.

 En el número tres y cuatro tenemos distintas perspectivas axonométricas del deltoedro mientras que en el 5 y 6 tenemos los poliedros compuestos de 7 prismas.

Tenemos el prisma hexagonal regular y el eje que lo atraviesa de forma oblicua generando una composición de 3 prismas mostrados en planta y alzado en el centro de la imagen, a la derecha observamos el prisma oblicuo con sus caras que son rombos, este poliedro se llama romboedro debido a sus caras rómbicas,  tenemos un caso particular en el cubo en el momento en que los rombos se transforman en cuadrados y tenemos otro caso particular en el deltaedro cuando los rombos se transforman en deltoides, como sabemos el deltoide es  un trapecio con un eje de simetría.

 En el número 3 y 4 vemos la perspectiva del prisma oblicuo mientras que en el 5 y 6 observamos los poliedros compuestos de 3 prismas.

Podemos observar nuevamente en el borde superior izquierdo el prisma  recto de base hexagonal regular  y un eje de giro que provoca una composición de 5 prismas representados en planta y alzado en la figura 1, tenemos a su derecha en la figura 2 la intersección de los 5 prismas, es un deltoedro cuyas perspectivas aparecen en el número 5 y 6, tenemos también las perspectivas del poliedro compuesto en el número 3 y 4

  Tenemos en el borde inferior derecho un tetraedro regular en color magenta atravesado por un eje vertical. al hacer un giro completo de esta figura en torno al eje y dejar registro de 3 figuras obtenemos en planta y alzado el poliedro compuesto que aparece en el número uno, tenemos como intersección en el número 2 un deltoedro, esa misma figura la copiamos en el número 3 y la giramos 90 grados respecto al plano horizontal, en el número 4 hacemos la composición del número 2 y el número 3 obteniendo un poliedro compuesto de dos deltoedros, por último en el número cinco calculamos la intersección de esos dos deltoedros.

En el extremo inferior de la imagen podemos ver las perspectivas de las cinco figuras antes realizadas.

Volvemos a coger el tetraedro regular que aparece en el borde superior izquierdo y hacemos el giro en torno al eje vertical provocando 7 tetraedros regulares, de esta manera obtenemos en planta y alzado el poliedro compuesto por esas figuras y cuya intersección es el deltoedro que aparece a la derecha en planta y alzado.

 En la parte inferior de la imagen observamos a la izquierda el poliedro compuesto de 7 tetraedros y en la parte derecha el poliedro objeto de la intersección de los anteriores, deltoedro cuyas caras son deltoides.

 Tenemos nuevamente un tetraedro regular y el eje vertical que lo atraviesa centralmente, al hacer un giro del tetraedro y dejar registro de 3 figuras obtenemos el deltoedro que sale en el centro de la figura en planta y alzado, a la derecha de la imagen tenemos tanto la composición de tetraedros como el deltoedro objeto de la intersección, en este caso se muestran las figuras en modo alámbrico para que se vea con más exactitud la coincidencia de las aristas en las mismas.

Tenemos nuevamente la misma figura anterior pero hemos incorporado un perfil al poliedro compuesto y al deltoedro para una mejor comprensión de las figuras, asimismo también incorporamos las perspectivas del poliedro compuesto y del deltoedro.

Si tomamos la figura del ejercicio anterior, un tetraedro regular formado por 4 triángulos equiláteros, tenemos el dibujo 1, al cortar las esquinas a un tercio (corte de tipo 2),  obtenemos la figura número 3, podemos observar que nos queda un tetraedro truncado, que es un poliedro arquimediano, y las pirámides que están desplazadas.

En el número 2 podemos ver  cohesionados los cuatro cuerpos que nos quedan.

El tetraedro truncado aparece en el número 7 en planta, alzado y perfil, podemos ver además otras dos vistas del poliedro en el número 4, marcamos en él un eje vertical centrado, al hacer un giro del poliedro en una circunferencia completa y dejando registro de 3 tetraedros truncados obtenemos en planta y alzado un poliedro compuesto que aparece en el número 5, en el número 6 nos muestra la intersección de los 3 tetraedros truncados, es un deltoedro de 6 caras laterales en su parte superior alternas con otras seis para la parte inferior.

 En el número 8, 9 y 10 vemos distintas perspectivas de las tres imágenes correspondientes al 4,5 y 6.

Lo que se puede deducir de esto es que realmente, un poliedro arquimediano que se puede construir de forma general por truncamiento de los poliedros regulares, al que aplicamos las mismas transformaciones que en los ejercicios anteriores, esto es, el giro,  registro e intersección de los poliedros, realmente va a dar por regla general el mismo resultado  que en los ejercicios anteriores ya que los truncamientos no suelen afectar a la intersección de todos los cuerpos que generan el núcleo o parte común de los mismos.

En esta figura observamos en modo alámbrico por la parte inferior el caso de 5 cubos y un eje que provoca distintos poliedros compuestos  al hacer el giro del primer cubo en torno al eje en distintas posiciones.

Observamos en el caso número 2 que se forma un deltoedro .

Tenemos  en todos los demás casos y por regla general figuras parecidas a los deltoedros pero a veces los deltoides se fragmentan en dos triángulos o bien las figuras están compuestas por formas en deltoides conjugadas con formas en triángulos escalenos.

 En el caso curioso del tercer poliedro la figura que se forma está generada por dos cucuruchos con deltoides enlazados por hexágonos regulares en su franja central.

En todos estos casos el cubo es atravesado por la diagonal principal que es considerada como eje de revolución, podemos comprobar en los casos pares que se provoca una dipirámide mientras que en los casos impares aparecen los deltoedros.

Tenemos también que en el caso 2 y 6 son coincidentes porque son múltiplos y por tanto coinciden los cubos en dos únicas figuras mientras que en el número 3 el cubo al girarlo y registrarlo tres veces provoca 3 cubos que son coincidentes consigo mismo por eso la intersección de los tres cubos es el cubo mismo de ahí que no aparezca en la figura, es un caso impar y se aproxima al deltoedro pero sus caras en vez de ser deltoides tenemos el caso límite de los deltoides que se transforman en cuadrados.

Mismo ejercicio que en el caso anterior pero en este caso el eje que en el ejercicio anterior estaba en una posición vertical ahora pasa a formar 45° con el plano horizontal, de esta manera todas las figuras que se forman están en una posición oblicua respecto a los dos planos de proyección.  Tenemos todos los casos de la imagen anterior, en el primer caso el registro de los 2 y 6 cubos, en el siguiente de 4 cubos, y así hasta llegar a los 9 cubos en el último caso.

 
 El mismo caso que los dos anteriores componiendo tanto la posición del eje vertical como la posición oblicua del eje.